Progressjoni ġeometrika u proprjetajiet tiegħu

progressjoni ġeometrika huwa importanti fil-matematika bħala xjenza, u s-sinifikat applikat, peress li għandu ambitu wiesa estremament, anki fil- matematika ogħla, per eżempju, fil-teorija ta 'serje. L-ewwel informazzjoni dwar il-progress daħal lilna mill-Eġittu tal-qedem, partikolarment fil-forma ta 'problema magħrufa sew tal-Papyrus Rhind seba' persuni b'seba qtates. Varjazzjonijiet ta 'dan il-kompitu kienu ripetuti ħafna drabi fi żminijiet differenti minn nazzjonijiet oħra. Anki l-Velikiy Leonardo Pizansky, magħrufa bħala Fibonacci (XIII ċ.), Spoke tagħha fil tiegħu "Ktieb tal-Abacus."

Sabiex il-progressjoni ġeometrika għandu storja antika. Hija tirrappreżenta sekwenza numerika bl-ewwel membru nonzero, u kull perjodu sussegwenti, li jibda bit-tieni huwa determinat bil-multiplikazzjoni tal-formula rikorrenza ta 'qabel f'temperatura kostanti, numru nonzero li tissejjaħ progressjoni denominatur (normalment nominati bl-użu lq ittra).
Ovvjament, li jista 'jinstab permezz tad-diviżjoni kull terminu sussegwenti tas-sekwenza tal-preċedenti, jiġifieri z 2: z 1 = ... = Zn: z n-1 = .... Konsegwentement, għal progressjoni aktar impjieg (Zn) biżżejjed li jaf il-valur ta 'l-ewwel terminu tal-denominatur uy 1 q.

Per eżempju, ejja z 1 = 7, q = - 4 (q <0), allura l-progressjoni ġeometrika li ġejja jinkiseb 7-28, 112-448, .... Kif tistgħu taraw, is-sekwenza li tirriżulta ma tkunx monotone.

Ifakkar li sekwenza arbitrarja ta monotonu (żieda / tnaqqis fil) meta wieħed mill-membri tagħha jsegwu aktar / anqas minn dak preċedenti. Per eżempju, is-sekwenza 2, 5, 9, ..., u -10, -100, -1000, ... - Monotone, it-tieni wieħed - progressjoni ġeometrika jonqos.

Fil-każ fejn q = 1, il-membri kollha jinstabu li huma, u huwa msejjaħ il-progressjoni kostanti.

Is-sekwenza kienet il-progressjoni ta 'dan it-tip, għandu jissodisfa l-kondizzjoni meħtieġa u suffiċjenti li ġejjin, jiġifieri: jibda mit-tieni, kull wieħed mill-membri tiegħu għandhom ikunu l-medja ġeometrika tal-membri ġirien.

Din il-proprjetà jippermetti taħt ċerti tnejn biswit sejba progressjoni tul arbitrarja.

n-th terminu b'mod esponenzjali faċilment jinstabu permezz tal-formula: Zn = z 1 * q ^ (n-1), z jafu ewwel membru 1 u lq denominatur.

Peress li l- sekwenza numru għandu somma, allura kalkoli sempliċi ftit tagħtina formula biex tikkalkula s-somma ta 'l-ewwel progressjoni tal-membri, jiġifieri:

S n = - (Zn * q - z 1) / (1 - q).

Sostituzzjoni, fil-formula tagħha espressjoni valur Zn z 1 * q ^ (n-1) biex tikseb it-tieni formola somma ta 'l-progressjoni: S n = - Z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Hi denja ta 'attenzjoni tal-fatt interessanti li ġejja: il-pillola tafal jinstabu fl-iskavi ta' Babylon qedem, li jirreferi għall-VI. QK, fih mod notevoli s-somma ta 1 + 2 + ... + 22 + 29 ugwali għal 2 għall-nieqes poter għaxar 1. L-ispjegazzjoni ta 'dan il-fenomenu għadu ma nstabx.

Aħna ninnotaw wieħed mill-proprjetajiet ta 'progressjoni ġeometrika - xogħol kostanti tal-membri tiegħu, spazjati f'distanzi ugwali mill-truf tas-sekwenza.

Ta 'importanza partikolari minn lat xjentifiku, tali ħaġa bħala progressjoni ġeometrika infinita u l-kalkolu l-ammont tagħha. Jekk wieħed jassumi li (yn) - progressjoni ġeometrika li q denominatur, li jissodisfa l-kundizzjoni | q | <1, l-ammont se tiġi riferuta lill-limitu lejn li aħna diġà jafu s-somma ta ewwel membri tagħha, b'żieda unbounded 'n, imbagħad jkollhom fuq dan toqrob infinità.

Sib dan l-ammont bħala riżultat ta 'użu tal-formula:

S n = y 1 / (1- q).

U, kif l-esperjenza wriet, għall-sempliċità apparenti ta 'dan progressjoni hija moħbija potenzjal applikazzjoni enormi. Per eżempju, jekk aħna tibni sekwenza ta 'kwadri skond l-algoritmu li ġejja, li jgħaqqdu l-midpoints ta' dak preċedenti, allura dawn jiffurmaw progressjoni ġeometrika infinita kwadru li jkollu denominatur 1/2. L-istess forma progressjoni u qasam ta 'trijangoli, miksuba f'kull stadju tal-kostruzzjoni, u somma tagħha huwa ugwali għaż-żona tal-kwadru oriġinali.