Gauss: eżempji ta 'soluzzjonijiet u każi speċjali

Metodu Gauss, imsejħa wkoll il-metodu ta 'eliminazzjoni gradwali ta' varjabbli mhux magħrufa, imsemmija wara l-xjenzat Ġermaniża prominenti KF Gauss, filwaqt li għadu ħaj rċeviet it-titolu mhux uffiċjali "Re tal-matematika." Madankollu, dan il-metodu kien magħruf twil qabel it-twelid taċ-ċiviltà Ewropea, anke fis-seklu I. QK. e. skulari Ċiniż Ancient użawha fil-kitbiet tiegħu.

Gauss huwa mod klassika ta 'soluzzjoni ta ' sistemi ta 'ekwazzjonijiet alġebrin lineari (Slough). Huwa ideali għal soluzzjoni malajr għall-matriċi daqs limitat.

Il-metodu innifsu jikkonsisti f'żewġ jiċċaqlaq: quddiem u b'lura. Naturalment dirett imsejħa l-sekwenza muri SLAE forma trijangolari, jiġifieri valur żero taħt il-djagonali prinċipali. Retrazzjoni jinvolvi s-sejba konsistenti ta 'fatturi varjabbli, li jesprimi kull varjabbli permezz tal-preċedenti.

Tgħallem li japplikaw fil-prattika, Gauss biss biżżejjed biex tkun taf ir-regoli bażiċi ta 'multiplikazzjoni, żieda u t-tnaqqis ta' numri.

Sabiex jintwera l-algoritmu biex isolvu sistemi lineari b'dan il-metodu, aħna jispjegaw eżempju wieħed.

Allura, jiġu solvuti bl-użu gauss:

x + 2y + 4Z = 3
2x + 6y + 11z = 6
4x-2y-2z = -6

Għandna bżonn it-tieni u t-tielet linji biex jeħles mill-varjabbli x. Għal dan aħna żid lilu l-ewwel immultiplikat bi -2, u -4, rispettivament. nikbru:

x + 2y + 4Z = 3
2y + 3¼ = 0
-10y-18z = -18

Issa l-linja 2 immoltiplika 5 u iżżidhiex mal-tielet:

x + 2y + 4Z = 3
2y + 3¼ = 0
-3z = -18

Aħna miġjuba sistema tagħna għal forma trijangolari. Issa aħna twettaq reverse. Nibdew bl-aħħar linja:
-3z = -18,
z = 6.

It-tieni linja:
2y + 3¼ = 0
2y + 18 = 0
2y = -18,
y = -9

L-ewwel linja:
x + 2y + 4Z = 3
x-18 + 24 = 3
x = 18-24 + 3
x = -3

Tissostitwixxi l-valuri tal-varjabbli fid-data oriġinali, aħna jivverifika l-korrettezza tad-deċiżjoni.

Dan l-eżempju jistgħu jiġu solvuti ħafna xi sostituzzjonijiet oħra, iżda l-risposta suppost tkun l-istess.

Hija hekk jiġri li l-elementi ewlenin ta 'l-ewwel ringiela huma rranġati mal-valuri żgħar wisq. Mhuwiex scary, iżda pjuttost tikkomplika l-kalkoli. Is-soluzzjoni hija li Gauss ma jduru fuq kolonna. essenza tagħha hija kif ġej: l-ewwel linja ta 'l-massimu mfittxija element modulo, il-kolonna li fiha tinsab, postijiet tat-tibdil ma' l-1 kolonna, jiġifieri l-element massimu tagħna ssir l-ewwel element tal-djagonali prinċipali. Li jmiss huwa proċess kalkulazzjoni bażika. Jekk ikun meħtieġ, il-proċedura tbiddel il-kolonni f'xi postijiet tista 'tiġi ripetuta.

ieħor verżjoni tal-metodu huwa l-metodu ta 'Gauss Gauss-Ġordan.

Huwa użat sabiex isolvi sistemi lineari kwadru, meta l-matriċi invers tal-matriċi u rank (numru ta 'linji nonzero).

L-essenza ta 'dan il-metodu huwa li s-sistema oriġinali huwa ttrasformat mill-bidliet fil-matriċi identità bi ftit varjabbli konstatazzjoni ulterjuri.

L-algoritmu huwa li:

1. Is-sistema ta 'ekwazzjonijiet huwa, bħal fil-metodu ta' Gauss, forma trijangolari.

2. Kull linja hija maqsuma f'numru speċifiku b'tali mod li l-unità tkun mixgħula il-djagonali prinċipali.

3. L-aħħar linja hija mmultiplikat ċertu numru u mnaqqsa mill-penultimu sabiex ma jiksbu fuq il-djagonali 0 prinċipali.

4. Pass 3 huwa ripetut b'mod sekwenzjali għal ringieli kollha sakemm eventwalment ma jiffurmawx-matriċi unità.