Polyhedra regolari: elementi simetrija u ż-żona

Ġeometrija hija sabiħa għax, kuntrarjament alġebra, li mhux dejjem ċar għaliex u dak li taħseb, jagħti oġġett viżwali. Din id-dinja mill-isbaħ ta 'diversi korpi adorn l-polyhedra regolari.

Informazzjoni ġenerali dwar polyhedra regolari

Skond ħafna, polyhedrons regolari, jew kif inhuma msejħa solidi Platonic, jippossjedu proprjetajiet uniċi. Ma 'dawn l-oġġetti konnessi diversi ipoteżi xjentifiċi. Meta tibda tistudja l-informazzjoni ġeometrika tal-ġisem, inti tirrealizza li kważi ma jafu xejn dwar tali kunċett bħala l-polyhedra regolari. Il-preżentazzjoni ta 'dawn l-oġġetti fil--iskola mhix dejjem interessanti, tant lanqas biss tiftakar dak li kienu jissejħu. Fil-memorja ta 'ħafna nies huwa biss kubu. L-ebda ġeometrija korp ma għandhomx dik perfezzjoni bħala polyhedrons regolari. Il-ismijiet ta 'dawn il-korpi ġeometriċi oriġinaw mill-Greċja tal-qedem. Huma jirrappreżentaw in-numru ta 'uċuħ: l-tetrahedron - erba' naħat, eżaedron bit - Allen, octahedron - ottagonu, dodecahedron - dodecahedral, icosahedron - icosahedral. Kollha ta 'dawn korp ġeometrika tokkupa post importanti fl konċepiment Plato' l-univers. Erbgħa minnhom huma inkorporati elementi jew entitajiet: il Tetrahedron - l-nar, il icosahedron - kubu ilma - art, octahedron - arja. Dodecahedron inkorporati affarijiet kollha. Huwa kien meqjus bħala l-ewlenija, bħala simbolu ta 'l-univers.

Il-ġeneralizzazzjoni tal-kunċett ta polyhedron

Polyhedron hija ġabra finit ta 'poligoni tali li:

• kull wieħed mill-ġnub ta 'xi poligoni fl-istess ħin naħa waħda biss ta' poligonu ieħor fuq l-istess naħa;
• minn kull wieħed mill-poligoni inti tista 'timxi għall-ieħor billi tgħaddi biswit dan poligoni.

Poligoni li jikkostitwixxu l-polyhedron jirrappreżentaw uċuħ tiegħu u sekondarji tagħhom - kustilji. vertiċi polyhedra huma l-punti ta 'poligoni. Jekk l-polygon terminu wieħed jifhem polylines magħluqa ċatti, li sussegwentement jaslu għall definizzjoni waħda ta polyhedron. Fil-każ fejn minn dan it-terminu jfisser parti mill-pjan li huwa mdawra b'linji miksura, se jkun mifhum wiċċ li jikkonsisti minn biċċiet poligonali. polyhedron konvessi huwa msejjaħ il-korp li tinsab fuq naħa waħda tal-pjan, maġenb uċuħ tiegħu.

definizzjoni oħra ta polyhedron u l-elementi tagħha

Polyhedron imsejħa wiċċ li jikkonsisti minn poligoni, li tillimita l-korp ġeometrika. Dawn huma:

• mhux konvessi;
• konvessi (lemin u l-ħażin).

Regolari polyhedron - huwa polyhedron konvess ma simetrija massimu. Elementi ta 'polyhedra regolari:

• Tetrahedron: 6 kustilji 4 tiffaċċja 5 vertiċi;
• eżaedron bit (kubu) 12, 6, 8;
• dodecahedron 30, 12, 20;
• octahedron 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12.

teorema Euler

Hija tistabbilixxi relazzjoni bejn in-numru ta 'truf, vertiċi u tiffaċċja huma topoloġikament ekwivalenti għal sfera. Żid in-numru ta 'vertiċi u tiffaċċja (B + D) ikollhom polyhedra regolari differenti u jitqabblu man-numru ta' kustilji, huwa possibbli li jiġu stabbiliti regola waħda: is-somma ta 'numru ta' uċuh ugwali għan-numru ta 'vertiċi u truf (P) żdiedu 2. Huwa possibbli illi jitnissel formula sempliċi:

• B + D = P + 2.

Din il-formula hija valida għal kulħadd polyhedra konvess.

definizzjonijiet bażiċi

Il-kunċett ta 'polyhedron regolari huwa impossibbli li jiddeskrivu fil-sentenza waħda. Huwa aktar vvalutati u l-volum. Korp li jiġi rikonoxxut bħala tali, huwa meħtieġ li dan jissodisfa numru ta 'definizzjonijiet. Għalhekk, korp ġeometrika se jkun polyhedron regolari meta jintlaħqu dawn il-kondizzjonijiet:

• huwa konvessi;
• l-istess numru ta 'kustilji tikkonverġi f'kull wieħed mill vertiċi tiegħu;
• aspetti kollha tal tiegħu - poligoni regolari, daqs xulxin;
• angoli dihedral kollha huma ugwali.

Proprjetajiet ta 'polyhedra regolari

Hemm 5 tipi differenti ta 'polyhedra regolari:

1. Cube (eżaedron bit) - ikollu angolu quċċata ċatt huwa ta '90 °. Hija għandha angolu 3 naħat. Ammont wiċċ angoli fil-quċċata ta '270 °.
2. Tetrahedron - angolu quċċata ċatta tal - 60 °. Hija għandha angolu 3 naħat. Ammont wiċċ angoli fil-quċċata - 180 °.
3. Octahedron - angolu quċċata ċatta tal - 60 °. Hija għandha angolu ta 'erba' naħat. Ammont wiċċ angoli fil-quċċata - 240 °.
4. Dodecahedron - angolu quċċata ċatt ta '108 °. Hija għandha angolu 3 naħat. Ammont wiċċ angoli fil-quċċata - 324 °.
5. Icosahedron - ikollu angolu quċċata ċatta tal - 60 °. Hija għandha angolu ħames naħat. Ammont wiċċ angoli fil-quċċata ta '300 °.

Iż-żona ta polyhedra regolari

L-erja tal-wiċċ tal-korpi ġeometriċi (I) hija kkalkulata bħala qasam polygon regolari immultiplikat bin-numru ta 'aspetti (G):

• S = (a: 2) x 2G CTG π / p.

Il-volum ta polyhedron regolari

Dan il-valur huwa kkalkulat bil-multiplikazzjoni tal-volum ta 'piramida regolari li l-bażi hija polygon regolari, in-numru ta' uċuh, u l-għoli tagħha huwa l-raġġ iskritti tal-isfera (r):

• V = 1: 3Rs.

Volumi ta 'polyhedra regolari

Bħal kull solidi, polyhedra regolari oħra ġeometriċi għandhom volumi differenti. Hawn taħt huma formuli li permezz tagħhom huma jistgħu jikkalkolaw:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• octahedron: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α x 3;
• eżaedron bit (kubu): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Elementi ta 'polyhedra regolari

Eżaedron bit u octahedron huma korpi ġeometriċi doppju. Fi kliem ieħor, huma jistgħu jiksbu mis-xulxin fil-każ li ċ-ċentru ta 'waħda hija meħuda bħala l-quċċata tal-ieħor, u viċi versa. Wkoll huma icosahedron doppju u dodecahedron. Nnifsu biss tetrahedron huwa doppju. Skond il-metodu ta 'Ewklide tista' tinkiseb minn eżaedron bit dodecahedron permezz tal-bini "soqfa" fuq l-uċuħ tal-kubu. L-punti ta 'l-tetrahedron xi 4 vertiċi tal-kubu, mhux pari biswit tul ix-xifer. Minn eżaedron bit (kubu) jistgħu jinkisbu, u polyhedra regolari oħra. Minkejja l-fatt li poligoni regolari hemm innumerabbli, polyhedra regolari, hemm biss 5.

Ir-raġġi tal poligoni regolari

Ma 'kull wieħed minn dawn il-korpi ġeometriċi huma isferi konċentriċi konnessi 3:

• deskritti jgħaddi mill-punti;
• iskritti dwar kull uċuħ tiegħu fin-nofs ta 'dan;
• medjan dwar l-truf fin-nofs.

Ir-raġġ tal-isfera deskritta bil-formula segwenti huwa kkalkulat:

• R = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Ir-raġġ tal-isfera miktuba huwa kkalkulat kif ġej:

• R = a: 2 x CTG π / p x tg θ: 2,

fejn θ - angolu dihedral li huwa bejn uċuħ ta 'maġenbhom.

Ir-raġġ medjan tal-isfera jista 'jiġi kkalkulat bil-formula li ġejja:

• ρ = a cos Õ / p: 2 dnub π / siegħa,

fejn h = il-kobor ta '4.6, 6.10, jew 10. Il-proporzjon tar-raġġi tal-iskritti deskritti u simetrikament fir-rigward puq. Huwa kalkolat kif ġej:

• R / r = tg π / p x tg π / t.

S-simetrija tal polyhedra

Il-simetrija tal-polyhedra regolari huwa ta 'interess primarju għal dawn il-korpi ġeometriċi. Huwa mifhum bħala moviment tal-ġisem fl-ispazju, li tħalli l-istess numru ta 'vertiċi, tiffaċċja u truf. Fi kliem ieħor, taħt l-influwenza tas-simmetrija trasformazzjonijiet tarf, vertiċi, jew wiċċ żżomm pożizzjoni oriġinali tagħha, jew jiċċaqlaq għall-pożizzjoni dar ta 'kustilja ieħor, l-punti jew uċuħ oħra.

Elementi tal simetrija tal-polyhedra regolari huma komuni għat-tipi kollha ta 'solidi ġeometriċi. Hawnhekk huwa mwettqa fuq it-trasformazzjoni identità, li jitlaq minn wieħed mill-punti fil-pożizzjoni oriġinali. Allura, meta inti dawwar il-priżma poligonali jistgħu jiksbu xi symmetries. Kull wieħed minnhom jista 'jiġi rappreżentat bħala l-prodott ta' riflessjoni. Simetrija, li huwa l-prodott ta anke numru ta 'riflessjonijiet, imsejħa dirett. Jekk huwa l-prodott ta 'numru fard ta' riflessjonijiet, allura huwa msejjaħ feedback. Għalhekk, l-dawriet madwar il-linja jirrappreżentaw simetrija dritta. Kull polyhedron riflessjoni - huwa l-simetrija invers.

Biex tifhem aħjar l-elementi simetrija tal-polyhedra regolari, inti tista 'tieħu l-eżempju tal-tetrahedron. Kwalunkwe linja li se jgħaddu minn wieħed mill-punti u l-ċentru tal- forom ġeometriċi, se ssir, u miċ-ċentru tax-xifer opposta għal dan. Kull wieħed mill-dawriet 120 u 240 ° madwar il-linja tappartjeni għall-simetrija tetrahedral plural. Peress li 4 vertiċi u tiffaċċja, irridu jiksbu total ta 'tmien symmetries diretti. Kull waħda mill-linji jgħaddi min-nofs tat-truf u l-ċentru tal-ġisem, tgħaddi min-nofs tax-xifer oppost. Kwalunkwe rotazzjoni ta '180 °, imsejħa nofs jdur simetrija dritta. Peress li l-tetrahedron għandu tliet pari ta 'kustilji, ikollok tliet linji ta' simetrija. Ibbażat fuq dan t'hawn fuq, nistgħu nikkonkludu li l-għadd totali ta 'simetrija diretta, u inkluż it-trasformazzjoni identità, se jkun sa tnax. Oħra tetrahedron simetrija dirett ma jeżistix, iżda għandha 12 simetrija invers. Konsegwentement, huwa biss 24 ikkaratterizzat symmetries Tetrahedron. Għaċ-ċarezza, nistgħu nibnu mudell ta tetrahedron regolari magħmula mill-kartun u kun żgur li hija l-korp ġeometrika verament għandu biss 24 simetrija.

Dodecahedron u icosahedron --eqreb għall-qasam tal-ġisem. Icosahedron għandha l-akbar numru ta 'uċuħ, l-angolu dihedral u fuq kollox jistgħu sewwa riċiklaġġ għall-isfera miktuba. Dodecahedron għandha l-difett angolari akbar angolu solidu aktar baxx fil-vertiċi. Hija tista 'timmassimizza biex timla l-isfera ċirkoskritti.

iskanjar polyhedra

Regolari polyhedra scan, li aħna kollha mwaħħla flimkien fit-tfulija, għandhom ħafna ta 'kunċetti. Jekk ikun hemm sett ta 'poligoni, kull naħa minnhom huwa identifikat ma naħa waħda biss ta' l polyhedron, l-identifikazzjoni tal-partijiet għandhom jissodisfaw żewġ kundizzjonijiet:

• ta 'kull poligonu, inti tista' tmur għal poligonu li jkollu l-identifikazzjoni tal-ġenb;
• naħa identifikabbli għandu jkollhom l-istess tul.

Huwa sett ta 'poligoni li jissodisfaw dawn il-kundizzjonijiet, u huwa msejjaħ polyhedron scan. Kull wieħed minn dawn il-korpi għandha diversi minnhom. Per eżempju, kubu li minnhom hemm 11-biċċiet.