Poligoni konvessi. Definizzjoni ta 'polygon konvess. -Djagonali ta 'polygon konvess

Dawn forom ġeometriċi huma kollha madwarna. poligoni konvessi huma naturali, bħal xehda jew artifiċjali (magħmula mill-bniedem). Dawn il-figuri jintużaw fil-produzzjoni ta 'tipi differenti ta' kisjiet fl-arti, arkitettura, ornamenti, eċċ poligoni konvessi jkollhom l-proprjetà li l-punti tagħhom jinsabu fuq naħa waħda ta 'linja dritta li tgħaddi mill-par ta' vertiċi maġenb xulxin tal-figura ġeometrika. Hemm definizzjonijiet oħra. Huwa appella l-polygon konvessi, li huwa rranġat nofs pjan wieħed fejn għandu x'jaqsam kwalunkwe linja dritta li jkun fih wieħed mill-ġnub tiegħu.

poligoni konvessi

Fil-kors ta 'ġeometrija elementari huma dejjem ittrattati poligoni estremament sempliċi. Biex tifhem il-proprjetajiet ta 'forom ġeometriċi inti jeħtieġ li jifhmu n-natura tagħhom. Biex jibdew jifhmu li magħluqa hija kwalunkwe linja li truf huma l-istess. U l-figura iffurmat minnha, jista 'jkollhom varjetà ta' konfigurazzjonijiet. Polygon tissejjaħ Polyline magħluqa sempliċi li unitajiet biswit ma jinsabux fuq il-linja dritta waħda. rabtiet tagħha u l-lymph huma, rispettivament, il-ġnub u tops tas-figura ġeometrika. A Polyline sempliċi m'għandhiex jiltaqgħu innifsu.

vertiċi tal-polygon huma msejħa ġirien, fil-każ li huma l-truf ta 'wieħed mill-ġnub tagħha. A figura ġeometrika, li għandu numru n th tal vertiċi, u b'hekk l-għadd n th tal-partijiet imsejjaħ il-gon n. Nnifisha linja imkisser huwa l-konfini jew kontorn tal-figura ġeometrika. pjan poligonali jew poligonu ċatti imsejjaħ il-parti finali ta 'kwalunkwe pjan, limitat tagħhom. naħat maġenb xulxin tal-figura ġeometrika imsejħa segmenti Polyline joriġinaw mill-istess vertiċi. Dawn mhux se jkunu ġirien jekk ikunu bbażati fuq punti differenti tal-polygon.

definizzjonijiet oħra ta 'poligoni konvessi

Fil-ġometrija elementari, hemm diversi ekwivalenti fid-definizzjonijiet tifsira, li tindika dak li jissejjaħ polygon konvess. Barra minn hekk, dawn id-dikjarazzjonijiet kollha huma ugwalment veru. A polygon konvessi huwa dak li għandu:

• kull segment li jgħaqqad kwalunkwe żewġ punti fi ħdanu, jinsab kompletament fiha;

• fiha jinsabu djagonali kollha tagħha;

• kwalunkwe angolu ta 'ġewwa mhux akbar minn 180 °.

Poligonu dejjem taqsam il-pjan f'żewġ partijiet. Wieħed minnhom - l limitata (jista 'jiġi magħluq f'ċirku), u l-oħra - illimitat. L-ewwel huwa msejjaħ ir-reġjun ta 'ġewwa, u t-tieni - iż-żona ta' barra tal-figura ġeometrika. Dan huwa l-intersezzjoni tal-polygon (fi kliem ieħor - il-komponent total) diversi half-ajruplani. Għalhekk, kull segment li truf f'punti li jappartjenu għal poligonu kompletament jappartjeni lilu.

Varjetajiet ta 'poligoni konvessi

Definizzjoni polygon konvessi ma jindikax li hemm ħafna tipi minnhom. U kull wieħed minnhom għandu ċerti kriterji. Għalhekk, il-poligoni konvessi, li għandhom angolu intern ta '180 °, imsemmija kemmxejn konvessi. Il-figura ġeometrika konvessi li għandha tliet quċċati, huwa msejjaħ trijanglu, erba - kwadrilaterali, ħames - pentagonu, eċċ Kull wieħed mill-konvessi n-gons jissodisfa r-rekwiżiti importanti li ġejjin: .. N għandhom ikunu ugwali għal jew akbar minn 3. Kull wieħed mill-triangoli huwa konvess. Il-figura ġeometrika ta 'dan it-tip li fiha l-vertiċi jinsabu fuq ċirku, imsejjaħ il-ċirku miktub. polygon konvessi deskritt jintuża jekk naħat kollha tagħha madwar ċirku tmissx tagħha. Żewġ poligoni huma msejħa ugwali biss fil-każ meta jużaw l-kisja jistgħu jiġu kkombinati. poligonu Flat imsejħa pjan poligonali (porzjon pjan) li din il-figura ġeometrika limitat.

poligoni konvessi regolari

poligoni regolari imsejħa forom ġeometriċi ma 'angoli indaqs u l-ġnub. Ġo fihom ikun hemm punt 0, li huwa l-istess distanza minn xulxin ta 'vertiċi tiegħu. Huwa sejjaħ l-ċentru tal-figura ġeometrika. Linji li jgħaqqdu l-ċentru mal-punti ta 'l-figura ġeometrika imsejħa apothem, u dawk li jgħaqqdu l-punt 0 mal-partijiet - raġġi.

Korretta rettangolu - kwadru. trijangolu ekwilaterali tissejjaħ ekwilaterali. Għal dawn forom hemm il-regola li ġejja: kull angolu polygon konvessi hija 180 ° * (n-2) / n,

fejn n - numru ta 'punti ta' l-figura ġeometrika konvessi.

Iż-żona ta 'kwalunkwe polygon regolari huwa determinat bil-formula:

S = p * s,

fejn p hija ugwali għal nofs is-somma ta 'naħat kollha tal-polygon, uh huwa l-apothem tul.

Properties poligoni konvessi

poligoni konvessi għandhom ċerti karatteristiċi. Għalhekk, is-segment li jgħaqqad kwalunkwe żewġ punti ta 'figura ġeometrika, neċessarjament jinsabu fiha. prova:

Ejja ngħidu li P - l-polygon konvessi. Tieħu żewġ punti arbitrarji, eż, A u B, li jappartjenu lill P. Mill-definizzjoni attwali ta 'polygon konvessi, dawn il-punti jinsabu fuq naħa waħda tal-linja dritta li fih kwalunkwe direzzjoni R. Konsegwentement, AB wkoll din il-proprjetà u tinsab fil R. A polygon konvessi dejjem jista 'jinqasam f'diversi triangoli assolutament l-djagonali, li saru wieħed mill vertiċi tiegħu.

Angoli forom ġeometriċi konvessi

L-angoli ta 'polygon konvess - huma angoli li huma ffurmati mill-partijiet. kantunieri Ġewwa huma fil-qasam ġewwa tal-figura ġeometrika. L-angolu li huwa ffurmat mill-ġnub tiegħu li jikkonverġu fi vertiċi, imsejjaħ l-angolu tal-polygon konvessi. Kantunieri jmissu mal-kantunieri interni tal-figura ġeometrika, imsejħa esterna. F'kull kantuniera ta 'polygon konvessi, irranġati ġewwa fih, huwa:

180 ° - x

fejn x - valur barra kantuniera. Din il-formula sempliċi hija applikabbli għal kwalunkwe tip ta 'forom ġeometriċi bħal dawn.

B'mod ġenerali, għal kantunieri barra jeżistu wara regola: kull angolu polygon konvessi ugwali għad-differenza bejn 180 ° u l-valur tal-angolu ta 'ġewwa. Huwa jista 'jkollhom valuri li jvarjaw minn -180 ° sa 180 °. Konsegwentement, meta l-angolu ta 'ġewwa huwa 120 °, l-apparenza se jkollhom valur ta' 60 °.

Is-somma tal-angoli ta 'poligoni konvessi

Is-somma tal-angoli ta 'ġewwa ta' polygon konvess hija stabbilita bil-formula:

180 ° * (n-2),

fejn n - numru ta 'punti ta' l-gon n.

Is-somma ta 'angoli ta' polygon konvess huwa kkalkulat pjuttost sempliċi. Jikkunsidra kull forma ġeometrika bħal din. Biex tistabbilixxi s-somma ta 'l-angoli fi polygon konvess bżonn jgħaqqdu wieħed mill vertiċi tiegħu biex vertiċi oħra. Bħala riżultat ta 'din l-azzjoni dawriet (n-2) tat-trijangolu. Huwa magħruf li s-somma ta 'l-angoli ta' kull trijangolu huwa dejjem 180 °. Minħabba n-numru tagħhom fi kwalunkwe polygon ugwali (n-2), is-somma ta 'l-angoli ta' ġewwa tal-figura ugwali 180 ° x (n-2).

Ammont kantunieri poligonu konvessi, jiġifieri, kwalunkwe żewġ angoli interni u esterni li jmissu lilhom, f'dan il-figura ġeometrika konvessi se dejjem ikun daqs 180 °. Fuq din il-bażi, nistgħu tistabbilixxi s-somma ta irkejjen kollha tagħha:

180 x n.

-Somma tal-angoli ta 'ġewwa huwa 180 ° * (n-2). Għaldaqstant, is-somma tal-kantunieri ta 'barra kollha tal-figura stabbilita bil-formula:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Somma ta 'l-angoli esterni ta' kull polygon konvessi dejjem se jkun ugwali għal 360 ° (irrispettivament tan-numru ta 'ġnub tiegħu).

kantuniera ta 'barra ta' polygon konvess huma ġeneralment rappreżentati bid-differenza bejn 180 ° u l-valur tal-angolu ta 'ġewwa.

proprjetajiet oħra ta 'polygon konvess

Minbarra l-proprjetajiet bażiċi ta 'data ċifri ġeometrika, huma wkoll ikollhom l-oħra, li jseħħu meta imexxuhom. Għalhekk, kwalunkwe mill poligoni jistgħu jinqasmu konvessi multipli n-gons. Biex tagħmel dan, tkompli kull wieħed mill-ġnub tiegħu u tnaqqas l-forma ġeometrika fuq dawn il-linji dritti. Split kwalunkwe polygon f'diversi partijiet konvessi hija possibbli u sabiex il-quċċata ta 'kull wieħed mill-biċċiet jikkoinċidu kollha ta' vertiċi tiegħu. Minn figura ġeometrika jista 'jkun sempliċi ħafna li tagħmel trijangoli permezz-djagonali kollha minn vertiċi wieħed. Għalhekk, kwalunkwe poligonu, finalment, jistgħu jinqasmu ċertu numru ta 'trijangoli, li huwa utli ħafna biex issolvi kompiti varji relatati ma' dawn forom ġeometriċi.

Il-perimetru ta 'l-polygon konvessi

Il-segmenti tal-Polyline, partijiet imsejħa poligonu, ħafna drabi indikaw bl-ittri li ġejjin: ab, bc, cd, de, ea. Din in-naħa ta 'figura ġeometrika vertiċi a, b, c, d, e. Is-somma tat-tulijiet tal-ġnub ta 'polygon konvess tissejjaħ perimetru tiegħu.

Iċ-ċirkonferenza tal-poligonu

poligoni konvessi jista 'jiddaħħal u deskritti. tanġent Ċirku mal-ġnub kollha tal-figura ġeometrika, imsejjaħ il-iskritti fih. Dan polygon tissejjaħ deskritti. Il-ċirku ċentru li tkun inkluża fil-poligonu huwa punt ta 'intersezzjoni tal-bisectors ta' angoli fi ħdan forma ġeometrika partikolari. Iż-żona ta 'l-polygon hija ugwali għal:

S = p * r,

fejn r - ir-raġġ taċ-ċirku iskritti, up - semiperimeter dan poligonu.

Ċirku li fih l-punti poligonu, imsejħa deskritt qrib dan. Barra minn hekk, din il-figura ġeometrika konvess imsejħa iskritti. Iċ-ċentru ċirku, li huwa deskritt madwar tali polygon huwa hekk imsejjaħ punt ta 'intersezzjoni midperpendiculars naħat kollha.

Djagonali forom ġeometriċi konvessi

-Djagonali ta 'polygon konvess - segment li jgħaqqad ma ġirien vertiċi. Kull wieħed minnhom huwa ġewwa din il-figura ġeometrika. In-numru ta djagonali tal-huwa stabbilit skond il-formula gon n:

N = n (n - 3) / 2.

In-numru ta djagonali ta 'polygon konvess għandu rwol importanti fil-ġeometrija elementari. In-numru ta 'trijangoli (K), li jistgħu jinkisru kull polygon konvessi, ikkalkulat bil-formula segwenti:

K = n - 2.

In-numru ta djagonali ta 'polygon konvess huwa dejjem dipendenti fuq in-numru ta' vertiċi.

Partition ta polygon konvess

F'xi każijiet, biex isolvu kompiti ġeometrija meħtieġa biex jinkiser polygon konvess f'diversi triangoli ma djagonali mhux jaqtgħu lil xulxin. Din il-problema tista 'tissolva billi tneħħi formula ċerti.

Tiddefinixxi l-problema: sejħa tip ġust ta qasma ta 'konvess n-gon f'diversi triangoli minn dijagonali li jiltaqgħu biss fil-punti ta' figura ġeometrika.

Soluzzjoni: Ejja ngħidu li P1, P2, P3, ..., Pn --quċċata tal-gon n. Numru Xn - in-numru ta 'ħitan tagħha. Jikkunsidraw bir-reqqa l-figura ġeometrika djagonali Pi Pn li tirriżulta. Fi kwalunkwe mill-ħitan diviżorji regolari P1 Pn jappartjeni għal trijanglu partikolari P1 Pi Pn, f'liema 1

Ħalli i = 2 huwa grupp ta 'ħitan regolari, dejjem fih djagonali P2 Pn. In-numru ta 'ħitan li huma inklużi fiha, ugwali għan-numru ta' ħitan (n-1) gon P2 P3, P4 ... Pn. Fi kliem ieħor, huwa ugwali għal Xn-1.

Jekk i = 3, allura l-ħitan oħra tal-grupp se dejjem ikollhom P3 P1 djagonali u P3 Pn. In-numru ta 'ħitan korretta li jinsabu fil-grupp, se jikkoinċidi man-numru tal-ħitan diviżorji (n-2) gon P3, P4 ... Pn. Fi kliem ieħor, se jkun Xn-2.

Ħalli i = 4, allura l-triangoli fost il-partizzjoni korretta hija marbuta li fihom trijangolu P1 Pn P4, li se ħdejn il Quadrangle P1 P2 P3, P4 (n-3) gon P5 P4 ... Pn. In-numru tal-ħitan diviżorji korretta tali kwadrilaterali ugwali X4, u n-numru ta 'ħitan (n-3) gon ugwali Xn-3. Ibbażat fuq dan kollu, nistgħu ngħidu li l-għadd totali ta 'ħitan regolari li jinsabu f'dan il-grupp huwa ekwivalenti Xn-3 X4. Gruppi oħrajn, li fihom i = 4, 5, 6, 7 ... se jkun fiha 4 Xn-X5, Xn-5 X6, Xn-6 ... x7 ħitan regolari.

Ħalli i = n-2, n-numru ta 'ħitan diviżorji korretta fi grupp partikolari se jikkoinċidi man-numru tal-ħitan diviżorji fil-grupp, li fih i = 2 (fi kliem ieħor, huwa ugwali Xn-1).

Peress X1 = X2 = 0, X3 = 1 u X4 = 2, ..., in-numru ta 'ħitan ta' polygon konvessi hija:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3, Xn-X4 + X5 +4 ... + X 5 +4 Xn-Xn-X 4 + 3 + 2 Xn-Xn-1.

eżempju:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X4 + X5 + X4 + X5 = 14

X7 + X5 = X6 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X7 = x8 + X6 + X4 * X5 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

In-numru tal-ħitan diviżorji korretta jaqtgħu lil xulxin fi żmien djagonali

Meta tiċċekkja każijiet individwali, wieħed jista 'jassumi li n-numru ta' djagonali ta 'gon n konvessi hija ugwali għall-prodott tal-ħitan diviżorji kollha ta' dan il-mudell chart (n-3).

Il-prova ta 'din is-suppożizzjoni: jissoponi li P1n = Xn * (n-3), allura kwalunkwe gon n tista' tinqasam (n-2) hija trijanglu. F'dan il-każ wieħed minnhom jista jitqiegħdu f'munzell (n-3) -chetyrehugolnik. Fl-istess ħin, kull Quadrangle huwa djagonali. Peress li dan il-figura ġeometrika konvessi b'żewġ dijagonali jistgħu jitwettqu, li jfisser li fi kwalunkwe (n-3) -chetyrehugolnikah tista 'twettaq addizzjonali djagonali (n-3). Fuq din il-bażi, nistgħu nikkonkludu li fi kwalunkwe qasma xierqa għandha l-opportunità li (n-3) Laqgħa -diagonali-rekwiżiti ta 'dan il-kompitu.

Żona poligoni konvessi

Spiss, biex jissolvew problemi varji ta 'ġeometrija elementari hemm bżonn li jistabbilixxu l-erja ta' polygon konvess. Assumi li (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n jirrappreżenta sekwenza ta 'koordinati tal-punti kollha ġirien ta' l-polygon, li m'għandha ebda awto-intersezzjonijiet. F'dan il-każ, iż-żona tagħha huwa kkalkulat bil-formula li ġejja:

_{S = ½ (Σ (X i} + X i + ₁₎ (Y _{i +} Y _i + _1)),

fejn (X _1, Y _{1) = (X n + 1, Y} n + _1).