Il-metodu sempliċi ta 'iterazzjoni għas-soluzzjoni ta' sistemi ta 'ekwazzjonijiet lineari (SLAE)

Il-metodu ta 'iterazzjoni sempliċi, imsejjaħ ukoll il-metodu ta' approssimazzjoni suċċessiva, huwa algoritmu matematiku biex jinstab il-valur ta 'kwantità mhux magħrufa permezz ta' irfinar gradwali. L-essenza ta 'dan il-metodu hija li, kif jimplika l-isem, tiżviluppa gradwalment mill-approssimazzjoni inizjali dawk sussegwenti jirċievu aktar u aktar riżultati raffinati. Dan il-metodu jintuża biex jinstab il-valur ta 'varjabbli f'funzjoni partikolari, kif ukoll biex jissolvew sistemi ta' ekwazzjonijiet, kemm lineari kif ukoll mhux lineari.

Ejja nqisu kif dan il-metodu huwa implimentat biex tissolva l-SLAE. Il-metodu ta 'iterazzjoni sempliċi għandu l-algoritmu li ġej:

1. Verifika tat-twettiq tal-kundizzjoni ta 'konverġenza fil-matriċi oriġinali. Teorema ta 'konverġenza: jekk il-matriċi inizjali tas-sistema għandha predominanza djagonali (jiġifieri, f'kull linja l-elementi tad-dijagonali prinċipali għandhom ikunu akbar f'modulu mis-somma tal-elementi tal-ġenb dijagonali modulu), allura l-metodu ta' iterazzjoni sempliċi huwa konverġenti.

2. Il-matriċi tas-sistema oriġinali mhux dejjem ikollha predominanza djagonali. F'każijiet bħal dawn, is-sistema tista 'tiġi konvertita. L-ekwazzjonijiet li jissodisfaw il-kundizzjoni ta 'konverġenza jitħallew mhux mittiefsa, u b'kombinazzjonijiet lineari li ma jissodisfawx l-għamla, jiġifieri. Immoltiplika, naqqas, żid l-ekwazzjonijiet ma 'xulxin sakemm jinkiseb ir-riżultat mixtieq.

Jekk fis-sistema li tirriżulta hemm koeffiċjenti inkonvenjenti fuq id-djagonali prinċipali, imbagħad għaż-żewġ partijiet ta 'din l-ekwazzjoni żid it-termini tal-formola _b'i * x _{i, li s-} sinjali tagħhom għandhom jikkoinċidu mas-sinjali tal-elementi djagonali.

3. Trasformazzjoni tas-sistema miksuba għall-forma normali:

X ^- = β ^- + α * x ^-

Dan jista 'jsir f'ħafna modi, per eżempju: mill-ewwel ekwazzjoni, jesprimu x ₁ sa mhux magħruf ieħor, mit-tieni x ₂ , mit-tielet x ₃ , eċċ. Aħna nużaw il-formuli li ġejjin:

Α _ij = - (a _ij / a _ii)

_I = b _i / a _ii
Huwa wkoll neċessarju li jiġi vverifikat li s-sistema li tirriżulta tal-forma normali tikkorrispondi mal-kondizzjoni tal-konverġenza:

Σ (j = 1) | α _ij | ≤ 1, b'i = 1,2, ... n

4. Aħna jibdew japplikaw, fil-fatt, il-metodu ta 'approssimazzjonijiet suċċessivi.

X ^{( 0)} hija l-approssimazzjoni tal-bidu, nesprimu x ^{( 1)} miegħu, allura aħna nesprimu x ^{( 2)} billi x ^{( t )} . Il-formola ġenerali fil-forma ta 'matriċi tidher bħal din:

X ^(N) = β ^- + α * x ^(n-1)

Aħna nikkalkulaw sakemm nilħqu l-eżattezza meħtieġa:

Max | x _i (k) -x _i (k + 1) ≤ ε

Allura, analizza fil-prattika l-metodu ta 'iterazzjoni sempliċi. Eżempju:
Iddeċiedi L-SLAU:

4.5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 bi preċiżjoni ta 'ε = 10 ^-3

Ejja naraw jekk l-elementi djagonali jippredominawx fil-modulu.

Aħna naraw li t-tielet ekwazzjoni biss tissodisfa l-kundizzjoni ta 'konverġenza. L-ewwel u t-tieni nittrasformaw, għall-ewwel ekwazzjoni nżidu t-tieni:

7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

Mit-tielet aħna naqqas l-ewwel:

-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Aħna ittrasformaw is-sistema oriġinali f'waħda ekwivalenti:

7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

Issa aħna nġibu s-sistema f'forma normali:

X1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
X2 = 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
X3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Aħna niċċekkjaw il-konverġenza tal-proċess iterattiv:

0.0789 + 0.3158 = 0.3947 ≤ 1
0.6429 + 0.2857 = 0.9286 ≤ 1
0.383 + 0.5319 = 0.9149 ≤ 1, jiġifieri. Il-kondizzjoni hija sodisfatta.

0.3957
L-approssimazzjoni inizjali x ^{( 0)} = 0.4762
0,8511

Aħna nissostitwixxu dawn il-valuri fl-ekwazzjoni tal-forma normali, aħna niksbu l-valuri li ġejjin:

0.08835
X ⁽¹⁾ = 0.486793
0,446639

Sostituzzjoni ta 'valuri ġodda, irridu:

0.215243
X ⁽²⁾ = 0.405396
0.558336

Aħna nkomplu l-kalkoli sal-mument li nersqu lejn il-valuri li jissodisfaw il-kundizzjoni mogħtija.

0,18813

X ⁽⁷⁾ = 0.441091

0.544319

0,188002

X ⁽⁸⁾ = 0.44164

0.544428

Ejjew niċċekkjaw il-korrettezza tar-riżultati:

4.5 * 0.1880 -1.7 * 0.441 + 3.5 * 0.544 = 2.0003
3.1 * 0.1880 + 2.3 * 0.441-1.1x * 0.544 = 0.9987
1.8 * 0.1880 + 2.5 * 0.441 + 4.7 * 0.544 = 3.9977

Ir-riżultati miksuba billi jissostitwixxu l-valuri misjuba fl-ekwazzjonijiet inizjali jissodisfaw għal kollox il-kundizzjonijiet tal-ekwazzjoni.

Kif naraw, il-metodu ta 'iterazzjoni sempliċi jagħti riżultati pjuttost preċiżi, iżda biex issolvi din l-ekwazzjoni kellna jqattgħu ħafna ħin u għamlu ħafna kalkoli diffikultużi.