It-teorija ta 'probabbiltà. Probabbiltà ta 'avveniment, avveniment okkażjonali (teorija tal-probabilità). Żviluppi indipendenti u inkompatibbli fit-teorija tal-probabilità

Huwa improbabbli li ħafna nies jaħsbu li huwa possibbli li għadd avvenimenti, li sa ċertu punt aċċidentali. Biex dan fi kliem sempliċi, huwa realistiku li tkun taf liema naħa tal-kubu fl-dice se jaqgħu ħin li jmiss. Kien din il-mistoqsija li titlob żewġ xjenzati kbira, s-sisien għal din ix-xjenza, il-teorija ta 'probabbiltà, il-probabbiltà ta' l-avveniment li fih il-studjat b'mod estensiv biżżejjed.

ġenerazzjoni

Jekk inti tipprova tiddefinixxi tali kunċett bħala l-teorija tal-probabilità, irridu jiksbu dan li ġej: din hija waħda mill-fergħat tal-matematika li l-istudji l-kostanza ta 'avvenimenti każwali. Ovvjament, dan il-kunċett verament ma jiżvelaw l-essenza, sabiex inti jeħtieġ li jikkunsidraw f'aktar dettall.

Nixtieq li tibda bil-fundaturi tat-teorija. Kif issemma hawn fuq, kien hemm żewġ, li Per Ferma u Blez Paskal. Huma kienu l-ewwel attentat użu ta 'formoli u l-kalkoli matematiċi biex jiġi kkalkulat ir-riżultat ta' avveniment. B'mod ġenerali, l-elementi rudimentali ta 'din ix-xjenza huwa saħansitra fil-Medju Evu. Filwaqt varji ħassieba u xjentisti ppruvaw biex tanalizza l-logħob tal-casino bħall roulette, Craps, u l-bqija, u b'hekk biex tistabbilixxi mudell, u l-telf tal-perċentwali ta 'numru. Il-fondazzjoni kien ukoll stabbilit fis-seklu sbatax kien l-istudjużi msemmija hawn fuq.

Inizjalment, ix-xogħol tagħhom ma setgħux jiġu attribwiti lill-kisbiet kbar f'dan il-qasam, wara kollox, dak li ma, dawn kienu sempliċement fatti empiriċi u esperimenti kienu kjarament mingħajr l-użu formuli. Maż-żmien, rriżulta li jinkisbu riżultati kbira, li dehru bħala riżultat ta 'osservazzjoni tal-voti tal-għadam. Huwa dan l-istrument għen biex iġibu l-ewwel formula distinti.

partitarji

Biex ma nsemmux tali raġel li Huygens Christiaan, fil-proċess ta 'studju is-suġġett li jkollu l-isem ta' "teorija tal-probabilità" (probabbiltà ta 'l-avveniment jenfasizza li f'dan xjenza). Din il-persuna hija interessanti ħafna. Huwa, kif ukoll xjenzjati ppreżentati hawn fuq huma ippruvati fil-forma ta 'formuli matematiċi li jiġi dedott mudell ta' avvenimenti riskjużi. Huwa jinnota li huwa ma tinqasam ma 'Pascal u Fermat, li huwa xogħol kollu tiegħu ma jikkostitwixxix akkumulazzjoni ta' dawk imħuħ. Huygens derivati -kunċetti bażiċi ta 'teorija tal-probabilità.

Fatt interessanti huwa li x-xogħol tiegħu daħal twil qabel ir-riżultati tax-xogħlijiet ta 'pijunieri, ikunu eżatti, għoxrin sena qabel. Hemm biss fost l-kunċetti identifikati kienu:

• bħala l-kunċett ta 'valuri probabbiltà ċans;
• aspettattiva għall-każ diskreti;
• teoremi ta 'addizzjoni u multiplikazzjoni ta' probabbiltajiet.

Ukoll, wieħed ma jistax jinsa Yakoba Bernulli, li kkontribwixxa wkoll għall-istudju tal-problema. Permezz tagħhom stess, l-ebda waħda minnhom huma testijiet indipendenti, huwa kien kapaċi li jipprovdu prova tal-liġi ta 'numri kbar. Min-naħa tagħhom, xjentisti Poisson u Laplace, li ħadem fis-seklu dsatax, kien kapaċi jipprova l-teorema oriġinali. Minn dak il-mument biex tanalizza l-iżbalji fil-osservazzjonijiet bdejna nużaw teorija probabbiltà. Parti madwar din ix-xjenza tista 'mhux u Russu xjentisti, aktar Markov Čebyšëv u Dyapunov. Dawn huma bbażati fuq il-ħidma magħmula geniuses kbira, garantiti s-suġġett bħala fergħa tal-matematika. Ħdimna dawn il-figuri fl-aħħar tas-seklu dsatax, u grazzi għall-kontribut tagħhom, ġew ippruvati fenomeni bħal:

• liġi ta 'numri kbar;
• Teorija tal-ktajjen Markov;
• L-teorema limitu ċentrali.

Allura, l-istorja tat-twelid ta 'xjenza u mal-personalitajiet ewlenin li kkontribwew għal dan, kollox huwa iktar jew inqas ċara. Issa wasal iż-żmien biex tlaħħam l-fatti kollha.

kunċetti bażiċi

Qabel ma tmissx il-liġijiet u teoremi għandhom jitgħallmu l-kunċetti bażiċi ta 'teorija tal-probabilità. Avveniment huwa jokkupa rwol dominanti. Dan is-suġġett huwa pjuttost estensiv, iżda mhux se jkunu jistgħu jifhmu l-bqija mingħajrha.

Avveniment fit-teorija probabbiltà - huwa Kull sett ta 'riżultati tal-esperiment. Kunċetti ta 'dan il-fenomenu ma hemmx biżżejjed. Għalhekk, Lotman xjentist jaħdmu f'dan il-qasam, esprima li f'dan il-każ qed nitkellmu dwar dak li "ġara, għalkemm ma jista 'jiġri."

avvenimenti riskjużi (teorija tal-probabilità tagħti attenzjoni speċjali għalihom) - huwa kunċett li jinvolvi assolutament kwalunkwe fenomenu tal-possibbiltà li jiġru. Jew, għall-kuntrarju, dan ix-xenarju ma jistax jiġri fil-qadi ta 'varjetà ta' kondizzjonijiet. Huwa wkoll min jafu li jokkupaw l-volum kollu tal-fenomeni li jseħħu avvenimenti biss każwali. teorija tal-probabilità jissuġġerixxi li l-kundizzjonijiet kollha tista 'tiġi ripetuta b'mod kostanti. Huwa imġiba tagħhom ġie msejjaħ "esperjenza" jew "test."

avveniment sinifikanti - dan huwa fenomenu li hija mija fil-mija f'dan it-test iseħħ. Għaldaqstant, l-avveniment impossibbli - din hija xi ħaġa li ma jiġri.

Jikkombinaw pari Azzjoni (konvenzjonalment il-każ A u każ B) huwa fenomenu li jseħħ fl-istess ħin. Dawn huma msemmija bħala AB.

L-ammont ta 'pari ta' avvenimenti A u B - C hija, fi kliem ieħor, jekk mill-inqas wieħed minnhom se (A jew B), ikollok C. Il-formula fenomenu deskritt huwa miktub bħala C = A + B.

iżviluppi inkompatibbli fit-teorija tal-probabilità jimplika li ż-żewġ każijiet huma reċiprokament esklussivi. Fl-istess ħin li huma fi kwalunkwe każ ma jistax jiġri. avvenimenti konġunti fit-teorija probabilità - huwa antipode tagħhom. L-implikazzjoni hija li jekk A ġara, ma jipprekludix C.

Topponi l-avveniment (teorija tal-probabilità tikkunsidrahom f'dettall kbir), huma faċli biex jinftiehmu. Huwa aħjar biex jittrattaw magħhom fil-paragun. Dawn huma kważi l-istess żviluppi fir inkompatibbli fit-teorija tal-probabilità. Madankollu, id-differenza tagħhom hija li wieħed minn pluralità ta 'fenomeni fi kwalunkwe każ għandu jseħħ.

Avvenimenti ugwalment probabbli - dawk l-azzjonijiet, il-possibbiltà ta 'ripetizzjoni hija ugwali. Biex jagħmluha ċara, tista 'timmaġina tossing munita: telf ta' wieħed mill-ġnub tagħha huwa telf ta ugwalment probabbli oħra.

huwa aktar faċli li tikkunsidra l-eżempju li jiffavorixxi l-avveniment. Ejja ngħidu hemm episodju fil-episodju A. L-ewwel - roll ta die mal-miġja ta 'numru fard, u t-tieni - l-apparenza tan-numru ħamsa fuq il-dice. Imbagħad jirriżulta li A hija V. favoriti

avvenimenti indipendenti fit-teorija probabilità huma proġettati biss fuq tnejn jew aktar okkażjonijiet u jinvolvu indipendenti minn kwalunkwe azzjoni mill-ieħor. Per eżempju, A - fil telf tossing dnub munita, u B - jack dostavanie mill-gverta. Huma għandhom ġrajjiet indipendenti fit-teorija probabbiltà. Minn dan il-mument deher ċar.

avvenimenti dipendenti fit-teorija probabilità hija wkoll permissibbli biss għal sett tagħhom. Huma jimplikaw dipendenza ta 'wieħed fuq l-oħra, jiġifieri, il-fenomenu jista' jseħħ biss fil-każ meta A tkun diġà seħħet jew, għall-kuntrarju, ma seħħx meta huwa - l-kondizzjoni prinċipali għall B.

Ir-riżultat tal-esperiment każwali li tikkonsisti f'komponent wieħed - huwa avvenimenti elementari. teorija tal-probabilità jgħid li huwa fenomenu li qed isir darba biss.

formula bażika

Għalhekk, dan t'hawn fuq kienu kkunsidrati l-kunċett ta ' "avveniment", "teorija tal-probabilità", id-definizzjonijiet tat-termini ewlenin ta' din ix-xjenza kien ukoll partikolari. Issa wasal iż-żmien biex tiffamiljarizza ruħha mal-formuli importanti. Dawn l-espressjonijiet huma matematikament ikkonfermat l-kunċetti ewlenin b'tali suġġett diffiċli bħala l-teorija ta 'probabbiltà. Probabbiltà ta 'avveniment u għandu rwol kbir.

Aħjar biex tibda bil-formuli bażiċi ta 'combinatorics. U qabel ma tibda minnhom, wieħed għandu jiftakar li dak li hu.

Combinatorics - huwa primarjament fergħa tal-matematika, huwa kien qiegħed jistudja numru kbir ta 'interi, u permutazzjonijiet varji ta' kemm in-numri u l-elementi tagħhom, data varji, eċċ, li jwassal għal numru ta 'kombinazzjonijiet ... Minbarra l-teorija tal-probabilità, din l-industrija hija importanti għall-istatistika, xjenza tal-kompjuter u kriptografija.

Allura issa inti tista 'timxi fuq il-preżentazzjoni tagħhom infushom u formuli definizzjoni tagħhom.

L-ewwel minn dawn huwa l-espressjoni għan-numru ta 'permutazzjonijiet, huwa kif ġej:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

Ekwazzjoni japplika biss fil-każ jekk l-elementi differenti biss fl-ordni ta 'arranġament.

Issa formula tqegħid, jidher qisu dan għandu jkun meqjus:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (N - m)!

Din l-espressjoni hija applikabbli mhux biss għall-uniku element ta 'tqegħid ordni, iżda wkoll għall-kompożizzjoni tiegħu.

It-tielet ekwazzjoni ta combinatorics, u huwa l-aħħar, imsejjaħ il-formula għall-numru ta 'kombinazzjonijiet:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Kombinazzjoni imsejħa teħid ta 'kampjuni, li ma huma ordnati, rispettivament, għal u applikati din ir-regola.

Bl-formoli tar combinatorics waslet biex jifhmu faċilment, inti issa tista 'tmur għad-definizzjoni klassika ta' probabbiltà. Jidher qisu din l-espressjoni kif ġej:

P (A) = m: n.

F'din il-formula, m - huwa n-numru ta 'kondizzjonijiet li jwasslu għall-avveniment A, u n - numru ta' avvenimenti ugwalment u kompletament kollha elementari.

Hemm ħafna espressjonijiet fil-artikolu mhux se jiġu kkunsidrati xejn affettwati se jkun l-aktar importanti bħal, per eżempju, il-probabbiltà ta 'avvenimenti jammonta:

P (A + B) = P (A) + P (B) - dan teorema biex jiżdiedu biss avvenimenti reċiprokament esklussivi;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - iżda dan huwa biss għaż-żieda kompatibbli.

Il-probabbiltà tax-xogħlijiet avveniment:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - dan teorema għal avvenimenti indipendenti;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - u dan għall-dipendenti.

Lista ntemmet tal-formula avvenimenti. It-teorija tal-probabilità tgħidilna teorema Bayes, li tidher bħal dan:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

F'din il-formula, H _1, H _2, ..., H _n - huwa sett komplut ta 'ipoteżi.

Fuq dan waqfien, formuli kampjuni applikazzjoni issa se jiġu kkunsidrati għal kompiti speċifiċi mill-prattika.

eżempji

Jekk inti jistudjaw bir-reqqa kwalunkwe fergħa tal-matematika, mhuwiex mingħajr eżerċizzji u soluzzjonijiet tal-kampjun. U t-teorija ta 'probabbiltà: avvenimenti, eżempji hawn huma komponent integrali ta tikkonferma kalkoli xjentifiċi.

Il-formula għall-numru ta 'permutazzjonijiet

Per eżempju, fil-gverta biljett jkollhom tletin karti, tibda bl-wieħed nominali. mistoqsija li jmiss. Kemm modi biex darbiet il-gverta sabiex il-kards b'valur nominali ta 'wieħed u tnejn ma kinux jinsabu jmiss?

Il-kompitu huwa stabbilit, issa ejja jimxu fuq biex jittrattaw dan. L-ewwel għandek bżonn biex jiddetermina n-numru ta 'permutazzjonijiet ta' tletin elementi, għal dan il-għan nieħdu l-formula ta 'hawn fuq, jirriżulta P_30 = 30!.

Ibbażat fuq din ir-regola, nafu kemm għażliet hemm li jistabbilixxu l-gverta f'ħafna modi, iżda irridu jiġu mnaqqsa minnhom huma dawk li fihom l-ewwel u t-tieni karta se jkun li jmiss. Biex tagħmel dan, ibda bil-varjant, meta l-ewwel jinsab fuq it-tieni. Jirriżulta li l-ewwel mappa jista 'jieħu disgħa u għoxrin postijiet - mill-ewwel għat-disgħa u għoxrin, u t-tieni karta mit-tieni sa l-tletin, dawriet u għoxrin disa' siġġijiet għall pari ta 'karti. Min-naħa tagħhom, l-oħrajn jistgħu jieħdu tmienja u għoxrin siġġu, u fi kwalunkwe ordni. Dan huwa, għall-arranġament mill-ġdid ta 'l-tmienja u għoxrin cards tmienja u għoxrin għażliet P_28 = 28!

Ir-riżultat huwa li jekk nikkunsidraw id-deċiżjoni, meta l-ewwel biljett huwa fuq it-tieni opportunità żejjed biex jiksbu 29 ⋅ 28! = 29!

Jużaw l-istess metodu, inti għandek bżonn biex jikkalkulaw in-numru ta 'għażliet żejda għall-każ meta l-ewwel karta jinsab taħt it-tieni. jinkisbu wkoll 29 ⋅ 28! = 29!

Minn dan isegwi li l-għażliet addizzjonali 2 ⋅ 29!, Filwaqt li l-mezzi meħtieġa ta 'ġbir tal-gverta 30! - 2 ⋅ 29!. Jibqa 'biss għall-kalkolu.

30! = 29! ⋅ 30; 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30-2) = 29! ⋅ 28

Issa għandna bżonn li jimmultiplikaw flimkien kollha tan-numri 1-29, u mbagħad fl-aħħar ta 'kull mmultiplikat bil 28. It-tweġiba miksuba 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Eżempji ta 'soluzzjonijiet. Il-formula għall-numru ta 'akkomodazzjoni

F'dan il-problema, għandek bżonn biex issir taf kif ħafna hemm modi biex tpoġġi l-volumi ħmistax fuq xkaffa, iżda bil-kundizzjoni li biss tletin volumi.

F'din il-ħidma, id-deċiżjoni ftit aktar faċli minn ta 'qabel. Permezz tal-formula diġà magħrufa, huwa meħtieġ li jikkalkulaw in-numru totali ta 'tletin postijiet ħmistax volumi.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30-15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Rispons, rispettivament, se jkun ugwali għal 202 843 204 931 727 360 000.

Issa tieħu l-kompitu ftit aktar diffiċli. Inti għandek bżonn tkun taf kemm hemm modi biex tirranġa l-tnejn u tletin kotba fuq l-ixkafef, bil-kundizzjoni li biss ħmistax volumi jistgħu jgħixu fuq l-istess xkaffa.

Qabel il-bidu tad-deċiżjoni tixtieq tikkjarifika li wħud mill-problemi jistgħu jiġu solvuti f'diversi modi, u dan hemm żewġ modi, iżda in hija applikata kemm wieħed u l-istess formula.

F'din il-ħidma, tista 'tieħu l-risposta minn ta' qabilha, għaliex hemm aħna kkalkulajna l-għadd ta 'drabi li int tista' timla l-ixkaffa għal ħmistax kotba b'modi differenti. Irriżulta A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30-15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

It-tieni reġiment kkalkulat billi l-jqalleb-formula, għaliex dan jitqiegħed ħmistax kotba, filwaqt li l-bqija ta 'ħmistax. Aħna nużaw il-formula P_15 = 15!.

Jirriżulta li s-somma se A_30 ^ 15 ⋅ P_15 modi, iżda, barra minn hekk, il-prodott tan-numri kollha mill 30-16 tkun multiplikat bin-prodott tan-numri 1-15, fl-aħħar jispiċċaw il-prodott tal-numri kollha mill 1-30, li hija t-tweġiba hija 30!

Iżda din il-problema tistax tissolva b'mod differenti - aktar faċli. Biex tagħmel dan, inti tista 'timmaġina li hemm ixkaffa wieħed għal tletin kotba. Kollha kemm huma mqiegħda fuq il-pjan, iżda minħabba l-kundizzjoni teħtieġ li kien hemm żewġ xkafef, wieħed twil aħna isserrar fil nofs, żewġ dawriet ħmistax. Minn dan jirriżulta li għal dan l-arranġament jista 'jkun P_30 = 30!.

Eżempji ta 'soluzzjonijiet. Il-formula għall-numru ta 'kombinazzjonijiet ta'

Li hija kkunsidrata varjant tat-tielet problema ta 'combinatorics. Inti għandek bżonn tkun taf kemm modi hemm biex jirranġa ħmistax kotba bil-kundizzjoni li inti trid tagħżel minn tletin eżattament l-istess.

Għad-deċiżjoni se jżommu, naturalment, tapplika l-formula għall-numru ta 'kombinazzjonijiet. Mill-kundizzjoni li jkun ċar li l-ordni tal-istess ħmistax kotba mhix importanti. Allura inizjalment ikollok bżonn issib l-għadd totali ta 'kombinazzjonijiet ta' tletin ħmistax kotba.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Li kollox. Bl-użu din il-formula, fl-iqsar żmien possibbli biex issolvi din il-problema, ir-risposta, rispettivament, ugwali għal 155,117,520.

Eżempji ta 'soluzzjonijiet. Id-definizzjoni klassika ta 'probabbiltà

Permezz tal-formula mogħtija hawn fuq, wieħed jista 'jsib risposta fl kompitu sempliċi. Iżda se tara b'mod ċar u jsegwu l-kors ta 'azzjoni.

Il-kompitu peress li fi URN hemm għaxar blalen kompletament identiċi. Minn dawn, erbgħa isfar u sitta blu. Meħuda mill-URN ballun wieħed. Huwa meħtieġ li tkun taf il-probabbiltà dostavaniya blu.

Biex issolvi l-problema, huwa meħtieġ li jkunu indikati dostavanie blu avveniment ballun A. Din l-esperjenza tista 'għaxar riżultati, li, imbagħad, elementari u ugwalment probabbli. Fl-istess ħin, sitta mill-għaxar huma favorevoli għall-avveniment A. Issolvi l-formula li ġejja:

P (A) = 6: 10 = 0.6

Applikazzjoni ta 'dan il-formula, aħna tgħallimna li l-possibbiltà dostavaniya ballun blu hija 0.6.

Eżempji ta 'soluzzjonijiet. Il-probabilità ta 'avvenimenti ammont

Min se jkun varjant li hija solvuta permezz tal-formula ta 'probabbiltà ta' avvenimenti ammont. Allura, minħabba l-kundizzjoni li hemm żewġ każijiet, l-ewwel waħda hija griża u ħames blalen abjad, filwaqt li t-tieni - tmien griż u erba blalen abjad. Bħala riżultat, l-ewwel u t-tieni kaxxi ħadu fuq waħda minnhom. Huwa meħtieġ biex issir taf x'inhuma l-possibilitajiet li ma kellhiex l-blalen huma griżi u bojod.

Biex issolvi din il-problema, huwa meħtieġ li jiġu identifikati l-avveniment.

• Għalhekk, A - għandna ballun griż tal-ewwel kaxxa: P (A) = 1/6.
• A "- bozza bajda wkoll jittieħed mill-ewwel kaxxa: P (A") = 5/6.
• Il - diġà estratt ballun griż tat-tieni kondjuwit: P (B) = 2/3.
• B "- ħa ballun griż tat-tieni kexxun: P (B") = 1/3.

Skond il-problema, huwa meħtieġ li wieħed mill-fenomeni ġara: AB "jew" B. Permezz tal-formula, irridu jiksbu: P (AB ") = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Issa l-formula tal-multiplikazzjoni tal-probabbiltà kien użat. Sussegwentement, biex issir taf l-risposta, għandek bżonn li tapplika ekwazzjoni tagħhom żżid:

P = P (AB "+ A'B) = P (AB") + P (A'B) = 11/18.

Li kif, permezz tal-formula, inti tista 'ssolvi problemi bħal dawn.

riżultat

Id-dokument ġie ppreżentat lill-informazzjoni dwar "teorija tal-probabilità", il-probabbiltà ta 'avvenimenti li għandhom rwol importanti. Naturalment, mhux kollox ġie meqjus, iżda fuq il-bażi tat-test ppreżentati, inti tista 'teoretikament jiffamiljarizzaw ma' din il-fergħa tal-matematika. xjenza Meqjus jista 'jkun utli mhux biss fin-negozju professjonali, iżda wkoll fil-ħajja ta' kuljum. Tista 'tużaha biex jikkalkulaw kull possibbiltà ta' avveniment.

It-test kien affettwat ukoll minn dati sinifikanti fl-istorja tal-iżvilupp ta 'teorija tal-probabilità bħala xjenza, u l-ismijiet ta' persuni li xogħlijiet ġew jitqiegħed fis dan. Thats kif kurżità bniedem wassal għall-fatt li n-nies tgħallmu għadd, anke avvenimenti riskjużi. Ladarba dawn huma biss interessati f'dan, iżda llum huwa diġà magħruf għal kulħadd. U l-ebda wieħed jista 'jgħid x'se jiġri lilna fil-futur, liema skoperti brillanti oħra relatati mal-teorija taħt konsiderazzjoni, se tkun kommessa. Iżda ħaġa waħda hija ċerta - l-istudju għadu mhux worth it!